円運動の問題の解き方【一周する条件を正確に考えてみた】

2019年2月17日

2019年12月14日

WRITER

あっきー

　

この記事を書いている人 - WRITER -

あっきー

オンライン物理塾長あっきー。高3秋から1か月で40点点上げ、センター試験では満点を取り、その経験を活かし塾講師として活躍。塾・学校・参考書の内容やカリキュラムに違和感を感じ数多くの高校生を救うため、大学2年生で「受験物理Set Up」を開設。多くの高校生が活用するサイトに発展し、現在「合格への道」で勉強法に特化した受験サポートを行う。

今回はこの悩みについて話したいと思います。

1周する条件は「糸がたるまない」や「面から離れない」などの説明がありますが、本当の条件はこのように表せます。

これが本当の条件です。これを理解することで、円運動の問題は解けるようになります。

円運動の問題：「1周する条件」

まずは自力で解いてみましょう。

円運動のポイントはこちらの記事で解説しています。困ったらこちらの記事を見ながらでもいいので自分でまずは取り組んでみてください。

円運動の公式の覚え方と運動方程式・エネルギー保存則の使い方

2019-02-17

円運動の問題の解説

円運動の問題と来たら、この二つをとにかく使ってください

• 運動方程式
• エネルギー保存則

円運動の問題は基本的にこれだけを使いこなされば解けます。

円運動の問題解説1：エネルギー保存則の使い方

(1)は運動方程式でもエネルギー保存則でもどちらでも解けそうな感じですね。ただ、運動方程式だと張力の情報が必要なんですが、問題文では与えられてないですね。

なので糸の張力を使わなくて済む方法を考えます。

それはエネルギー保存則です。

エネルギー保存則はこうでしたね。

今回の非保存力は張力のみですが、これは仕事をしませんね。

力の向きと移動向きが垂直だからです。

あとは力学的エネルギーを考えるだけでOKです。

位置エネルギーを考える必要があるので、最下点を基準に取るとエネルギー保存則に必要な情報は次のようにまとめられます。

よって

\(\frac{1}{2}mv_0^2 + 0 = \frac{1}{2}mv^2 + mgr(1 – \cos{\theta})\)

\(v = \sqrt{v_0^2 – 2gr(1 – \cos{\theta})}\)

これが答えです。

円運動の問題解説2：運動方程式の使い方

(1)でエネルギー保存則を使ったので、もうやるべきことは一つですね。

運動方程式を使いましょう

運動方程式は以下のような手順で立てます。

Step 1は良いとして、Step 2ですね。

運動方程式は円の中心方向について立てるんでしたね。

そして、正の向きについては中心向きを正とする約束があったのでそれには絶対にしたがってください！！

それが分かっていればOKです。

Step 3でが、物体にはたらく力も中心方向と鉛直方向に分けて考えます。

そして、力を成分表示します。

\(\vec{T} = (T)\)

\(\vec{W_\theta} = (-mg\cos{\theta})\)

Step 4

次に合力ですね。

ベクトルをとにかく足すことを忘れないように！！

\(\vec{F} = \vec{T} + \vec{W_\theta} = (T – mg\cos{\theta})\)

Step 5

運動方程式\(m\vec{a} = \vec{F}\)に成分を代入しますが円運動するときの加速度については重要なことがありましたね。

円運動するときは、中心方向に関して言えば

\(a = \omega^2 r = \frac{v^2}{r}\)

が成り立つんでしたね。

今回は\(v\)の情報を使うので

\(\vec{a} = (\frac{v^2}{r})\)

を代入します。

\(m\frac{v^2}{r} = T – mg\cos{\theta}\)

\(T = m\frac{v^2}{r} + mg\cos{\theta}\)

これが答えです。

円運動の問題解説3：円運動し続ける条件は「速さ≠０」ではない！

（３）は「1周する条件」という円運動の典型問題です。

これは最初にお見せした通りです。

よくあるミスが「速さが0にならない」と考えることです。

「円運動しなくなるとき\(v  = 0\)となるから、円運動し続けるには\(v \ge 0\)である」と考えたくなるのはわかりますが、これは間違いです。

速さを持っていても円運動しない例はあります。ですので、\(v \ge 0\)は条件ではないです。

円運動するという条件には加速度が常に中心向きに生じているというものがあります。

加速度が常に中心向きに生じるということは常に中心向きに力も生じていると言えますね。

これは運動方程式を考えれば良くわかります。

加速度が生じるということは、その向きに力が生じるということです。

というわけで、最初に示した条件が成立するのです。

今回の場合は、常に中心向きにはたらく力として糸の張力があります。

これが、「常に中心向きにはたらく」という意味で

一方、重力はどうでしょうか？

こんな感じで、常に中心向きを向いているわけではないですね。

• 張力→常に中心向き
• 重力→常に中心向きではない

とまとめられます。

なので、常に張力がはたらいている条件（糸がたるまない条件）を考えれば良いのです。

(1)、(2)から\(v\)を消去します。

\(T = m\frac{v_0^2}{r} + mg(3\cos{\theta} – 2)\)

これを見ると、\(\theta = \pi\)のとき（物体がてっぺんに来たとき）に\(T\)が最も小さくなりますね。

ですから\(\theta = \pi\)のとき、\(T \ge 0\)とすれば\(T\)が0になることは無くなり条件が導けます。

\(m\frac{v_0^2}{r} – 5mg \ge 0\)

よって

\(v_0 \ge \sqrt{5gr}\)

が答えです。

まとめ：円運動の問題の解き方

いかがでしたか？

円運動の問題の解き方いたってシンプルです。

運動方程式とエネルギー保存則を使いつつ、円運動の問題特有の「1周する条件」が分かっていればOKです。

何かあればどんどんコメントくださいね！それでは！