ドップラー効果の公式は波の個数問題だった！簡単な覚え方を教えます！

2019年3月8日

2019年3月14日

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あっきー

　

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あっきー

オンライン物理塾長あっきー。高3秋から1か月で40点点上げ、センター試験では満点を取り、その経験を活かし塾講師として活躍。塾・学校・参考書の内容やカリキュラムに違和感を感じ数多くの高校生を救うため、大学2年生で「受験物理Set Up」を開設。多くの高校生が活用するサイトに発展し、現在「合格への道」で勉強法に特化した受験サポートを行う。

ドップラー効果はイメージがしにくくて、高校生泣かせな単元ですね。

意味わからず公式だけ覚える。

そんな苦行を強いられる人も少なくないと思います。

なので、ここで超わかりやすく説明したいと思います。

ドップラー効果って何？

ドップラー効果というのは波に特有の現象です。

よく例に出てくるのが、救急車のサイレンですね。

救急車が近づいてくるときは音が高く聞こえて

遠ざかるときは音が低く聞こえる。

これがドップラー効果です。

音源が動くことによって、波長が変わります。

波の基本式\(v = f\lambda\)より、

波長が変われば、当然ですが振動数\(f\)も変化します。

という感じで、波長が伸びる縮む。

こういう説明をされるんですが、

・・・・・

全くイメージができない！！

なので、別の視点からドップラー効果を考えたいと思います。

波の個数に注目！！

その視点はズバリ、

波の個数

です。

波の個数を考えることについてはこちらの記事で触れています。

【物理】正弦波の式に覚え方はなかった！？簡単に導ける方法を解説！

振動数\(f\)の意味は

「1秒間に\(f\)個の波を出す」

という意味でした。

この波の個数を考えるとドップラー効果が理解しやすいです。

いくつか例を出してみましょう。

例１：音源が動く場合

まずは、音源が動く場合です。

１秒間で考えてみましょう。

音速が\(V\)なので、一秒間で音は\(V\)の長さだけ進みます。

また、振動数が\(f_0\)なので、１秒間で\(f_0\)個の波が出ます。

もし、音源が止まっているなら当然ながら、

\(V\)の中に\(f_0\)個の波が含まれますね。

今回は音源が速さ\(v\)で動くので、この１秒間で\(v\)の長さだけ進みます。

なので、実際に含まれる波の長さは\(V\)ではないです。

図のように\(V – v\)の長さに波が含まれます。

波の含まれる長さが変わっているのです。

ただ、振動数は動いていようが\(f_0\)で固定です。

振動数は音源の種類で決まるので変わるはずがないのです。

つまり、

「\(V – v\)の中に\(f_0\)個の波が含まれる」

と言えますね。

イメージしやすいと思いませんか？？

これで、音源が出す音の波長が求められます。

なので、音源が出す音の波長は

\(\lambda’ = \frac{V – v}{f_0}\)

となります。

じゃあ、実際に観測者が聞く振動数\(f\)はどうなるでしょう？

観測者は動いていないから\(V\)の長さだけ音を聞きますね。

ただし、その音の波長は\(\lambda’\)です。さっき求めたやつね。

波長\(\lambda’\)の波が\(V\)の中に\(f\)個含まれる。

ということなので、

\(V = f\lambda’\)

波の基本式ですね。

\(f = \frac{V}{V – v}f_0\)

これが観測者の聞く音の振動数です。

観測者が動く場合

では、次は観測者が動く場合です。

同じように、波の個数に注目して考えます。

１秒間で考えると

音源は止まっているので、今回は

\(V\)の長さに\(f_0\)個の波が含まれる

なので、音源が出す音の波長は

\(\lambda ‘ = \frac{V}{f_0}\)

ですね。

次に観測者を考えたいんですが、

今回観測者は動いているので、音の聞く範囲、つまり

音が含まれる範囲が変わっています。

１秒で\(u\)だけ進んでしまうので、聞く長さが\(V – u\)になるってことですね。

つまり

波長\(\lambda ‘ \)の波が\(V – u\)の中に\(f\)個含まれている

\(V – u = f\lambda’\)

やっぱり波の基本式ですね。

\(f = \frac{V – u}{V}f_0\)

音源も観測者も動く場合

じゃあ、最後に両方が動く場合を考えてみましょう。

もちろん、波の個数に着目していきます。

今までと同じですね。

音源が出す波に関しては

\(V – v\)の中に\(f_0\)個の波が含まれる

ということです。

なので、波長は

\(\lambda’ = \frac{V – v}{f_0}\)

今度は観測者ですが、これも同じです。

\(V + u\)の中に\(\lambda’\)の波長の波が\(f\)個含まれます。

つまり

\(V + u = f\lambda’\)

\(f = \frac{V + u}{V – v}f_0\)

これが、観測者が聞く音の振動数ですね。

ドップラー効果の最強公式

と、ここまで例を見てきたんですが、

どの例でも共通して言えることがあります。

もちろん波の個数を見てきたことです。

ですが、もっと見てみると・・・

矢印の長さで決まる！！？？

これを使えばだいたいのドップラー効果の問題は解けるので、かなり時短になります。

めちゃめちゃ使い勝手がいいので使ってください！

まとめ

公式の分数の上下が分からなくなることが多いので、こう覚えておいてください！

観音様

文字通り上から並べればOKです！！

ということで、ドップラー効果でした。