モル比熱は暗記するな！定積モル比熱と定圧モル比熱の意味と導出法

2019年2月28日

2019年11月2日

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あっきー

　

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あっきー

オンライン物理塾長あっきー。高3秋から1か月で40点点上げ、センター試験では満点を取り、その経験を活かし塾講師として活躍。塾・学校・参考書の内容やカリキュラムに違和感を感じ数多くの高校生を救うため、大学2年生で「受験物理Set Up」を開設。多くの高校生が活用するサイトに発展し、現在「合格への道」で勉強法に特化した受験サポートを行う。

熱力学第一法則の関連事項としてモル比熱というものが出てきます。

モル比熱というのは受験にはあまり必要のない話です。

定積モル比熱とか定圧モル比熱などありますが、

全く覚える必要がないからです。

熱力学第一法則の使い方をこちらの記事で説明をしました

熱力学第一法則の問題での使い方講座。変化ごとでまとめちゃった

ここで紹介した定圧・定積変化という過程の中で実はモル比熱というものは出てきています。

ただこちらの記事では教えていなかっただけです。

ということで、今回は

モル比熱とは？という意味の部分から説明して

モル比熱をどのように導出するかを教えていきます。

内部エネルギーとは

まず、気体の内部エネルギーについて考えます。

気体の分子運動論では

「運動エネルギー＝温度」

という関係が分かったわけですね。

↓気体の分子運動論についてはこちらを読んでね↓

気体分子運動論とは？問題必勝パターンを分かりやすく解説

その途中で

$\frac{1}{2}m\bar{v^2} = \frac{3}{2} \frac{R}{N_A} T$

という式が得られていました。

$N_A$はアボガドロ定数です。

左辺は分子一個の運動エネルギーです。

これを$u$とおくと

$u = \frac{3}{2} \frac{R}{N_A} T$

でも、気体分子はめちゃめちゃ多いわけですね。

なので、モル(mol)を使った方がいいです。

1molの気体分子のエネルギー$U’$は$u$にアボガドロ定数$N_A$を掛けてあげればいいですね。

（アボガドロ定数とかが分からない人は化学を勉強してください）

$U’ = \frac{3}{2}RT$

これは、1molの気体分子のエネルギーでした。

じゃあn[mol]だったら？

もちろん、これに$n$を掛けてやればいいんです。

$U  = \frac{3}{2}nRT$

これを気体の内部エネルギーと言います。

ただ、条件があって、これは

単原子分子理想気体

の場合です！！

この式は$\frac{1}{2}mv^2$というエネルギーから導きました。

このエネルギーは$v$、つまり並進運動のみのエネルギーを考慮しているんですね。

例えば二原子分子だったらどうなるかというと

並進運動に加えて回転運動もあるんです。

単原子分子なら、回転は無視できるんですが、二原子分子だとそうはいきません。

図のように原子がつながっている以上、これを軸に回転することができちゃうわけです。

ですから二原子分子（多原子分子）の内部エネルギーは回転の分、大きくなるんです。

二原子分子では

$U = \frac{5}{2}nRT$

と表されます。

モル比熱とは

じゃあ、この内部エネルギーと第一法則を使って、モル比熱っていうのを考えてみましょう！！

比熱の定義は

「1gの物質を温度1Kだけ上昇させるのに必要な熱量」

のことです。

$Q = mc\Delta T$

の$c$です。

ですが、今は気体を扱っていますよね。

気体をグラム基準で考えちゃうと、便利じゃないですよね。しかも、分子の種類によって質量は違うわけですから。

そこで、グラムではなくモルで比熱を考えよう！！！！

ということで、現れたのが「モル比熱」です。

つまり、

「１molの気体を1K上昇させるのに必要な熱量」

ということです。

このモル比熱を$C$とすれば、熱量は

$Q = nC\Delta T$

と書けるということです。

↓第一法則の応用について↓

定積モル比熱

上で紹介した記事で第一法則の応用方法をやってはいるんですが、ここでも簡単に説明します。

定積変化ということから何がわかるんでしたか？？

ということで第一法則

$Q = \Delta U + W$

から

$Q = \Delta U$

つまり

$Q = \frac{3}{2}nR\Delta T$

さて、これをよく見てみましょう。

$n = 1, \Delta T = 1$として見ると

$Q = \frac{3}{2}R$

ですよね。

これが「定積モル比熱」です。

$C_V = \frac{3}{2}R$

とすれば

$Q = nC_V\Delta T$

となっていることがわかりますね。

また

$\Delta U = nC_V \Delta T$

と表せます。

これは単原子分子に限らず、多原子分子でも成り立ちます。

もちろん、$C_V$の値は変わりますがね。

定圧モル比熱

定圧変化では何がわかるんでしたっけ？？

仕事は圧力一定のときに

$W = P\Delta V$

と表せるんでしたね。

これを使って第一法則を書き換えると

$Q = \frac{3}{2}nR\Delta T + P\Delta T$

さらにさらに、状態方程式から変化量の関係をつくると

$P\Delta V = nR\Delta T$

です。

$P, n , R$は変化し得ないので、左辺と右辺の変化量を考えるときは、$V, T$のみを考えればいいんですね。

まとめると

$Q = \frac{5}{2}nRT$

これを「定圧モル比熱」って言います。

$C_p = \frac{5}{2}R$

こうおくと

$Q = nC_p \Delta V$

となります。

定圧モル比熱の方が大きいわけは？？

さっき求めた、定積モル比熱と定圧モル比熱。

値が定圧モル比熱の方が大きいですよね？

この理由は、何でしょう？

定積では

$Q = \Delta U$

という風に、もらった熱量がすべてエネルギー上昇、つまり温度上昇に用いられてますね。

一方で定圧では

$Q = \Delta U + W$

という風に、もらった熱量の一部を仕事に使っちゃうわけです。

ですから、同じ温度だけ上げるには、定圧の方が熱が必要なので、モル比熱も大きいんですね。

二原子分子の場合

最後に、二原子分子の場合は内部エネルギーが違うのでモル比熱も当然変わります。

$U = \frac{5}{2}nRT$ということが分かっていれば

$C_V = \frac{5}{2}R$

$C_p =\frac{7}{2}R$

と導けますね。

（ちなみにどんな分子でも「$C_V + R = C_P$（マイヤーの関係式）」が成り立ちます）

以上です！！それでは！！