【物理】ニュートンリングとは？たった1つの光の干渉問題で理解できます！

2019年10月23日

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あっきー

　

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あっきー

オンライン物理塾長あっきー。高3秋から1か月で40点点上げ、センター試験では満点を取り、その経験を活かし塾講師として活躍。塾・学校・参考書の内容やカリキュラムに違和感を感じ数多くの高校生を救うため、大学2年生で「受験物理Set Up」を開設。多くの高校生が活用するサイトに発展し、現在「合格への道」で勉強法に特化した受験サポートを行う。

ニュートンリング。光の干渉で出てくるところです。

このニュートンリングなんですか、「よくわかんねーし」とSNSでつぶやいているのを見かけます。

ぶっちゃけ、どこが難しいの？？

ニュートンリングの概要も問題も全く難しくありませんよ。だってくさび形空気層と同じなんですから

この記事では、ニュートンリングの概要を分かりやすく説明するに加え、ニュートンリングのすべて分かる入試問題を解説していきます。

この1記事だけで、ニュートンリングの基礎から入試レベルまで力を伸ばすことができます。

ニュートンリングとは

くさび形空気層では二枚の平板ガラスを重ねていましたね。

ニュートンリングはその一方を球形ガラスに置き換えたものです。ですから、やることは・・・

くさび形空気層と同じです。

光路差を求める

干渉条件を求めていきますが、先ほど言ったようにくさび形空気層と全く同じですよね。

ABの往復分が経路差になります。

経路差は\(2d\)ですね、

AB間は空気中なのでこれがそのまま光路差です。

くさび形空気層と同様に、\(d\)は非常に小さいです。

また後程見せるように、ニュートンリングで見える干渉縞を考えれば中心からの距離\(x\)で表せた方が良いです。

ということで、光路差を\(x\)を用いて表します。

図のように△OADを考えれば三平方の定理より

\((R – d)^2 + x^2 = R^2\)

∴\(x^2 – 2Rd  + d^2 = 0\)

状況設定から、\(d\)は\(R\)比べて十分小さいです。

\(d\)はただでさえ小さいのに2乗したらもはや０です。

なので\(d^2\)無視しちゃってOKです。

整理すると\(d\)は

\(d = \frac{x^2}{2R}\)

と表せます。

ということで、光路差は

\(光路差 = \frac{x^2}{R}\)

と表せます。

干渉条件を求める→位相変化に注意

また、反射があるんで位相の変化に注意です。が、これもくさび形空気層と同じです。

全体で\(\pi\)だけ位相がずれているので、干渉条件は逆転します。

ということで、ニュートンリングの干渉条件は次のように表せます。

これは覚えるものではなく、毎回導いてくださいね。

暗記不要ではなく暗記禁止です。

ニュートンリングの干渉縞

ニュートンリングでは干渉縞はこのように見えます。

円形に広がっていく形ですね。

ちなみに\(x^2\)で干渉条件が表されているので、明線の間隔はヤングの実験やくさび形空気層のように、一定の間隔にはなりません。

ニュートンリングが一発でわかる問題

ではニュートンリングの概要が分かったところで入試問題を一つ解いて見ましょう。

入試問題と言っても大したことは無いです。ニュートンリングの問題は今からやる問題くらいしか問われることがないんです。

そんな良問を解けるようにしましょう。

光の干渉問題で重要なことは？

僕のサイトではとにかくこれをしつこく言います。

干渉問題では2ステップあります。

これはニュートンリングだろうと、初見の問題だろうと干渉問題では必ずこの2ステップで解きます。

波動分野はイメージしにくいからこそ式で勝負するのです。

ポイントは、小問に依らずまずは干渉条件を立てることです。問題文を読んだ段階で干渉条件を求めにいってください

ニュートンリングの問題解説

干渉条件を求める

まずは先ほど言ったように干渉条件を真っ先に求めていきます。

状況は最初に見せたニュートンリングの状況とそっくりなのでここでは結果だけ示しますが、何度も言うように結果は暗記しないでください。

ここから問題を解き始めていきます。

(1)は答え出ています。

(1)に関しては先ほど出した条件がそのまま答えになっています。

\(d = \frac{r^2}{2R}\)と表せて、干渉条件はさっきの式です（明線だけで良いですが、暗線も出しておきます）

(2)は条件式が合うものを選ぶ。

以降の問いは先ほど見せた2ステップの「条件式から情報を読み取る」というところです。条件式をうまく使いこなしていきます。

中心付近ということは\(r=0\)ですね。

二つの式に\(r=0\)を代入したときに式が成立する方が答えになるということです。

明線の方は\(r=0\)とすると\(m=-\frac{1}{2}\)となってしまい、\(m\)が整数でなくなってしまうので成立しません。

暗線の方は\(r=0\)とすると\(m=0\)となり、式が成立します。

ということで、答えは「暗くなる」です。

(3)は\(m\)の値に注意

(3)はただ計算をすればOKです。

ですが一つ注意点があります。

2つ目の明線なので\(m=2\)を明線の条件式に代入して・・・というのは間違いです。

なぜなら、先ほど求めた条件式では\(m\)は0から始まるからです。

つまり、\(m=0\)が1つ目、\(m=1\)が2つ目になります。

ということで\(m=1\)を明線の条件式に代入して、他のものも代入して整理すると答えがでます。

\(R = 4.1\)m

ちなみに、今回は有効数字2桁で答えます。

(4)は色が波長によって違うことに注目

まず、暗線の間隔を聞かれているのでそこを式に表しましょう。

暗線の条件式を「\(r=\)」の形にします。

そして、\(m+1\)番目と\(m\)番目の差が暗線の間隔になります。

ちなみに\(m=1\)と\(m=0\)で考えてはいけません。これはあくまで0次と1次の暗線の間隔でしかなく、一般的に表せていません。これができるのは暗線や明線の間隔がどこも等しい場合だけです。

この問いでは「赤から青に色を変えると間隔はどうなるか？」というものでした。

色は波長によって決まっています。

赤は波長が長く、青は波長が短いです。

つまり先ほどの式を見てみると波長が大きいほど間隔も大きくことがわかりますね。

ですから、青は赤より波長が短いので暗線の間隔は短くなります。これが答えです。

改めて干渉条件を求める

(5)では状況が変わるので改めて干渉条件を求めます。

水で満たした場合でも\(n>n_1\)という条件から、位相変化は空気の場合と変わりません。

しかし、光路差なので「経路差×屈折率」にしないといけないので

光路差は\(2d\times n_1\)となります。

なので、この場合の干渉条件を立てるとこうなります。

この問いでは暗線の間隔に関して問われているので、(4)と同じように暗線の間隔\(\Delta r\)を求めます。

さて、空気中の場合と比較して見ると、水に満たされていた場合は分母に\(n_1\)があるので、\(\Delta r\)が小さくなっているのが分かります。

つまり、暗線の間隔は狭くなります。これが答えです。

これは立派な入試問題です。入試問題の方が誘導が多く簡単になっているので、この問題が解けた人は完全に入試レベルまで力が伸びていますよ。

ニュートンリング以外の光の干渉も確認しよう

授業でやる光の干渉問題はニュートンリングを含め4つあります。それらも合わせて確認しておきましょう。

まとめ：自分流は捨てろ

いかがでしたか？

見ての通り僕は干渉問題は2ステップしか意識していません。

「でもそんなこと学校で教わってないし」「参考書で出てきてないし」「自分はこれで別の方法で解いてるし」・・・だからと言って、このステップ意識しなくていいわけではありません。

今の状態で点数が伸びなかったり、問題が解けないのは今の考え方に問題があるからです。

一度教わったことをやってみてそれでうまくいくことは多いです。

僕はあなたよりずっと物理の勉強歴は長いですし、あなたよりずっと知識もあります。だからこそこの2ステップで解けるよと言っているんですね。

まずは受け入れてやってみてください。自分流にもっていくのはそのあとからです。

それでは！