【物理基礎】気柱の共鳴を徹底解説！閉管、開管やること同じやで
どうも！オンライン物理塾長あっきーです
あっきー
今回は物理基礎でおなじみの気柱の共鳴をやっていきます。
弦の振動と同じように、気柱でも特定の振動しか起こらないという特徴があります。
そして、気柱の共鳴の固有振動数を覚えるのに必死のあなた。いちいち覚える必要なんてありません！！
イメージ化ですべて解くことができます。
この記事では、気柱の共鳴の固有振動数を求めるとともに、問題で問われる開口端補正についても説明していきます。
最後まで読んで、完璧に理解してしまいましょう！
気柱の共鳴の原理が分かる
気柱の共鳴の固有振動数が求められる
開口端補正の扱い方が分かる
目次
気柱の共鳴とは
リコーダーなどで音が出るのは気柱の共鳴が関係しています。
気柱内で空気が振動することで音が発生します。
空気は本来なら自由に振動できるはずですが、気柱があることで振動の仕方に制限がかかります。
この振動にあった空気を送りこむことで大きな音が出るのです。
つまり共振です。共振のうち、音に関するものを共鳴と呼んでいます。
弦の振動と考え方は同じ
この気柱の共鳴の固有振動数を求めていきますが、考え方は弦の振動と同じです。
弦では両端が固定されていて、両端が節になるように振動が起こります。
気柱でもどこが節でどこが腹なのかを考えることで簡単に固有振動数を求めることができます。
弦の振動についてはこちらをチェックしましょう！
気柱は縦波を横波で考える
しかし、空気の振動は縦波です（進行方向と平行に振動する）。
ですから、弦のような波形で表すことができません。
なので、気柱の場合は波の縦波を横波表示してから考えます。
閉管の固有振動数
気柱の形は主に2つです。片方が閉じている閉管と両端が開いている開管です。
それぞれで振動の様子が違います。
まずは閉管を見ていきます。
閉管では片方が節、もう片方が腹になる
閉管は見ての通り一方が閉じていて、一方が開いています。
閉じている方がば空気が振動できないので節になるしかありません。
開いている方は空気が自由に振動できるので腹となることができます。
そのような波形になる波を1つずつ考えていけばOKです。
閉管の基本振動
まずは一番簡単な振動を考えましょう。
弦の振動で考えた通り、波長\(\lambda_1\)と気柱の長さ\(L\)との関係を見ます。
波\(\frac{1}{4}\)個が1つ含まれているので、図のような式が得られます。
音速を\(V\)とすれば、この波の振動数\(f_1\)は波の基本式を使って次のように求められます。
この振動を基本振動と言います。
3倍振動
次に簡単なのはこれですね。
同じように波長\(\lambda_2\)と\(L\)の関係を導きます。
波\(\frac{1}{4}\)個が3つ含まれているのが分かりますね。
なのでこの波の振動数\(f_2\)は次のように求められます。
この振動を3倍振動と言います。
閉管の固有振動数を導く
このように、見ていくと規則性が見えてきますね。
1倍振動、3倍振動、5倍振動・・・という感じで。
では一般的に\(2n-1\)振動のときの振動数を考えましょう。
規則性を見ても分かるように、波\(\frac{1}{4}\)個が\(2n-1\)個含まれているのが分かります。
なので、この時の振動数\(f_n\)が求められます。
この振動数が閉管の固有振動数です。
片方が節、片方が腹となる振動を考えることで、振動数を求めることができるのです。
開管の固有振動数
次は開管を見ていきます。
閉管では両端が腹となる
開管では両端が開いているため両端が自由に振動でき、腹となることができます。
両端が腹となるような波形を先ほどと同様に考えていけばOKです。
基本振動
一番簡単な場合がこれです。
波長\(\lambda_1\)と\(L\)の関係を同じように波の個数から見て求めましょう。
波\(\frac{1}{4}\)個が2個含まれているのが分かりますね。
なので振動数は次のように表せます。
これが基本振動です。
開管の固有振動数を求める
閉管でも見た通りなので、ここからは一般的に固有振動数を求めてみます。
図のように、規則性がありますね。一般的に\(n倍振動\)のときを考えます。
規則性から見ても分かる通り、波\(\frac{1}{4}\)個が\(2n\)個含まれています。
なのでこの波の振動数は次のようになります。
これが開管の固有振動数となります。
閉管でも開管でも、振動の特徴をとらえて図示すれば固有振動数を求められるので覚える必要は全くありません。
開口端補正とは
気柱では開いている部分に腹ができる状況を考えていました。
しかし、実際は開口よりも少し離れた場所に腹ができることが分かっています。
このように、腹が気柱から離れた距離を開口端補正と呼びます。
先ほどの固有振動数は実は厳密なものではありません。
気柱の共鳴で開口端補正が無視できないとき
問題によって開口端補正が無視できる場合とできない場合があります。
無視できる場合は良いのですが、無視できない場合は注意が必要です。
開口端補正がある場合、この波の波長が求められません。
開口端補正が分からないからです。
そこで次の図のように、次に共鳴するポイントを探します。
すると、2つの共鳴ポイントの間には\(\frac{1}{2}\)波長含まれるのが図から分かるので、ピストンを動かした距離を調べることで波長が求められます。
最初の共鳴ポイントで考えるのではなく、二つの共鳴ポイントから波長を求めるのです。
この波長が求まれば開口端補正も求められます。
両端が閉じている気柱はどうなる？
あまり見ませんが、両端が閉じている気柱についても考えることができます。
この場合も同じで、両端が節となる波形を考えればいいですね。
これは弦の振動と全く同じですね。なので、弦の振動について理解しておけば大丈夫です。
弦の振動についてはこちらを確認してくださいね。
まとめ：気柱の共鳴はイメージ化
いかがでしかた？
弦の振動と気柱の振動は決して覚えるものではありません。
振動の特徴を理解し、それに合わせて図を書けばOKなんです。
この内容が分かればセンター試験の問題は間違いなく解けるのでしっかり復習して理解をしましょう！
閉管の固有振動数
開管の固有振動数
Comment
最初の原理の部分、とても分かりやすく助かりました。
音の高さとの関係についても知りたいのですが、マリンバを想像すると管が長いほど低い音が出ると分かります。
これはなぜなのでしょうか。（開管である場合について知りたいです。）