熱力学第一法則の問題での使い方講座。変化ごとでまとめちゃった

2019年2月28日

2019年9月25日

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あっきー

　

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あっきー

オンライン物理塾長あっきー。高3秋から1か月で40点点上げ、センター試験では満点を取り、その経験を活かし塾講師として活躍。塾・学校・参考書の内容やカリキュラムに違和感を感じ数多くの高校生を救うため、大学2年生で「受験物理Set Up」を開設。多くの高校生が活用するサイトに発展し、現在「合格への道」で勉強法に特化した受験サポートを行う。

状態方程式を使うときは、「絶対これでやってね！」っていう3ステップがありました。

それについてはこちらで！

熱力学第一法則も実は全く同じ重要ポイントがあってそれがそのまま熱力学第一法則を問題で使う方法になります。

それは「一定」を探すこと

熱力学全般で言えることですが、問題を解く必勝パターンは

図を書いて「一定」を探せば後は公式を適用する

たったこれだけなんです。

今回は熱力学第一法則を問題でのどのように使えるか？という使い方の部分と

その中で出てくる定圧・定積・等温変化のそれぞれの特徴を

分かりやすく説明していきます！！

↓まずは熱力学第一法則について理解しましょう！↓

熱力学第一法則とは？

熱力学第一法則とはこうでしたね。

お金の関係でしたね。

そして、今回4つ一定の場合を考えます

• 圧力
• 体積
• 温度
• 熱（断熱）

熱だけは一定というか、断熱\(Q = 0\)の場合を考えます。

では一個ずつ見てみましょう。

体積一定・・・「すべて貯金する安全型」

まずは体積Vが一定の変化（定積変化）を考えます。

体積が一定だと何が言えるんでしょうか？

仕事はP-Vグラフの面積で求められるんでしたよね。

だから体積が変化しなかったら面積は０です。

なので仕事もしません。

ということで熱力学第一法則をに当てはめると

\(Q = \Delta U\)

つまり「もらったお金をすべて貯金する安全型」なんですね。

また単原子分子理想気体なら

\(\Delta U = \frac{3}{2}nR\Delta T\)

と表せたので

\(Q = \frac{3}{2}nR\Delta T\)

と書けますね。

状態方程式を見てみると

\(PV = nRT\)

ですよね。

これの変化量を考えてみましょう。

右辺が変化するとしたら\(T\)だけですね。

\(T\)の変化量を\(\Delta T\)としましょう。

さて、右辺が変化したとき、左辺は何が変化するでしょうか？？

なので、\(P\)が\(\Delta P\)だけ変化すると考えれば

\(\Delta P ・V = nR\Delta T\)

という関係が成り立ちますね。

これを使えば

\(Q = \frac{3}{2}V\Delta P\)

とも表せます。

自分で「体積一定」という条件からここまで導けるようにしてください。

この考え方がそのまま問題で使えます！！

圧力一定・・・「貯金するし使う一般型」

今度は圧力が一定の変化（定圧変化）を考えますよ。

定圧変化だったら何が言えるんでしょうか？？

今回、\(\Delta U , W\)はともに０ではないんですが、定圧（\(P = 一定\)）という条件があるから、

\(W = P\Delta V\)

と書けますね。

なので、熱力学第一法則を適用すれば

\(Q = \Delta U + W\)

\(= \frac{3}{2}nR\Delta T + P\Delta V\)

「もらったお金は貯金したり使ったりする一般型」ということですね。

そして、さっきと同様。状態方程式を考えましょう。

\(PV = nRT\)

から\(\Delta T\)が変化すると

左辺は\(P = 一定\)なので、変化するとしたら\(V\)だけです。

なので、\(\Delta V\)という変化量だけを考えれば良くて

\(P\Delta V = nR\Delta T\)

と書けるわけです。

これをさっきの式に当てはめれば

\(Q = \frac{3}{2}nR\Delta T + nR\Delta T\)

∴\(Q = \frac{5}{2}nR\Delta T = \frac{5}{2}P\Delta V\)

と表させるわけです。

何度も言いますが、

「圧力一定」という条件からここまで導けるようにしてください。

ここまでの話からモル比熱の話につながります。

それについてはこちらから↓

温度一定・・・「すべて使う豪快型」

今度は温度一定の変化（等温変化）を考えます。

（これは定温変化とは言わないんですね（笑）。）

温度一定という条件からわかることは・・・

\(\Delta U = \frac{3}{2}nR\Delta T\)

と表せていたわけですが、温度一定だと当然変化量\(\Delta T\)は０ですよね。

なので\(\Delta U = 0\)です。

あとは熱力学第一法則を適用すると

\(Q = W\)

「もらったお金はすべて使う豪快型」ってわけですね。

いつも通り、状態方程式を考えよう・・・

と言っても今回はあまり、進展することは無いです。

\(PV = nRT\)

を考えると右辺は一定なので

\(PV = 一定\)

となります。

つまり、

「PとVは反比例する」

わけです。

そして、このグラフの面積がまさに仕事になる。

のですが、普通は積分しないと求められません。

ということで、\(Q = W\)の式を導いた後は特にやることは無いです。

熱量が０の場合

最後は、一定というわけではないんですが、

熱量\(Q = 0\)であるような変化（断熱変化）を考えます。

よくあるのが「断熱材でできた容器」という文言。

これは「\(Q = 0\)」っていう条件を表します。

もちろん熱力学第一法則を見てみると

\(0 = \Delta U + W\)

\(\Delta U = -W\)

さて、この式から何が言えるでしょう？？

この\(W\)は

気体がした仕事

ですね。

• 気体が仕事をした場合

\(W > 0\)つまり\(-W < 0\)なので

\(\Delta U < 0\)ですね。

\(\Delta U = \frac{3}{2}nR\Delta T\)ということなので、

\(\Delta T < 0\)

つまり、温度が低くなる

要は、空気が膨張するわけだから温度低くなる。

だから、この結果は理解できますね。

• 仕事をされる場合

これはさっきの逆を考えれば良くて

\(\Delta U > 0\)だから

\(\Delta T > 0\)

つまり、温度が高くなる

これも圧縮しているから、温度が高くなることもイメージつくね。

まとめ

特にまとめることもないんですが、一応簡単に。

↓これもチェックしよう！↓

白紙から説明せよ！気体分子運動論の流れを理解！