くし形コンデンサーの問題を解説します！

今回は、コンデンサーの演習問題をしていきましょう！！

くし形コンデンサー

今回扱うのは、「くし形コンデンサー」っていうものです。

「くし形」だから何か特別なことをするわけじゃないんですけど、コンデンサーをしっかり理解できていないと解けません。

頑張りましょう！！

面積Sの4つの金属板を図のように並べる。金属板WとY、XとZは導線でつながっており、WとX、YとZの間隔はともにDであり、XとYの間隔はdである。また真空の誘電率を $\varepsilon_0$ とする。WのX側の表面には電荷Q(>0)が現れるとして、次の問いに答えよ。

(1) WX間の電場の大きさを求めよ。

(2) XY間の電場の大きさを求めよ。

(3) XのY側に現れる電荷を求めよ。

(4) YのZ側の電荷を求めよ。

(5) WとYを一方の極板、XとZをもう一方の極板としたときのコンデンサーの電気容量を求めよ

(セミナー物理2016 問454)

今回のポイントは次の3つです。

「一周した電位＝０」
向かい合う電荷の大きさは同じ
合成容量の求め方

まずは自力で解いてみましょう！！

何にも手が付かない人は次の記事をチェックしましょう

コンデンサー

コンデンサーの問題必勝法

解答

(1)

これは、コンデンサーの超基本的なことです。

ガウスの法則が分かっていれば解けます。一応ガウスの法則をおさらいしておきましょう。

詳しく理解するにはこちらをチェック。

電場とガウスの法則

ガウスの法則とは・・・

「電場E = 1[m2]あたりの電気力線の本数」

です。

ちなみに、電荷Q[C]から出る（入る）電気力線の総本数は $4\pi kQ$ 本です。

ですから、今回の問いの電場 $E_{WX}$ はこう書けるわけです。

E_{WX} = \frac{4\pi kQ}{S}

今回は、真空の誘電率 $\varepsilon_0$ を使わないといけないんですが、

$\varepsilon_0 = \frac{1}{4\pi k}$ と書けます。

ですので、

E_{WX} = \frac{Q}{\varepsilon_0 S}

が答えですね。

(2)

ここで、使うのはポイントの1,2です。

「一周した電位＝０」
向かい合う電荷の大きさは同じ

ここで、注意してほしいことがあります。

確かに、向かい合う極板の電荷の大きさは同じです。

でも、実はこれって厳密ではないんですよね。なので、ここで修正しておきます。

「向かい合う極板の表面の電荷は同じ」

この表面ってのが重要です。

よく見れば、Xの上下で電荷の大きさを変えていますよね。一見
$Q_X = Q$ って感じになりそうですよね。でも、これは違います。

XはZと導線でつながっていますから、電荷はXとZを自由に行き来できるんですよ。

だから、Xで必ずしも上下で電荷の総和が0になる必要がないのです。

もし、XがZとつながっていないのであれば $Q_X = Q$ です。（ただ、その場合極板間隔は同じになるよ）。

ま、それが分かったところで、後は「一周した電位＝０」とすればいいです。

-V_{WX} - V_{YZ} = 0\\ V_{YZ} = -V_{WX}

さて、コンデンサーには一様な電場が生じていますよね。

なので、 $V_{WX} = E_{WX}・D$ 、 $V_{XY} = E_{XY}・d$ となるわけです。

電位についてはこちらをチェックしてください。

E_{XY}・d = -E_{WX}・D = -\frac{QD}{\varepsilon_0 S}\\ E_{XY} = -\frac{QD}{\varepsilon_0 Sd}

（このマイナスってのが次の問いで重要になります！！）

今回は大きさを聞かれているので

|E_{XY}| = \frac{QD}{\varepsilon_0 Sd}

これが答えです。

(3)

さて、これは(2)がしっかり解けていれば問題ないです。さっき $E_{XY}$ 、つまりXY間の電場がマイナスで出ていましたよね。

これは、自分で考えていた電場の向きとは逆だったって意味なんです。

ってことは、BのC側の電荷は実は $-Q_B$ と、マイナスの電荷だったということです。

だから、今回の問いでは、マイナスで答えないといけないということです。

これに気を付けていれば大丈夫です。

というより、しっかりした解き方ができていれば、こんな感じで勝手に答えが出るので安心してください。

(1)と同様、ガウスの法則を使えば（わかりにくいので、とりあえず大きさだけ）

| E_{XY} |= \frac{Q_X}{\varepsilon_0 S}\\ \therefore Q_X = \frac{QD}{d}

実際は $-Q_X$ が答えとなるので

-Q_X = -\frac{QD}{d}

これが答えですね。

(4)

これは(1)~(3)と同じことをすればいいだけです。

求めたいのは $Q_Y$ ですね。

でも、同じ解説をするのはつまらないので、ちょっと工夫します。

この図を180度回転させてみてください。

・・・

最初の状態と似すぎじゃん！！

どれくらい似てるかっていうと、電荷の符号がすべて逆になっているだけで、あとはおなじですよね。

だから、 $Q_Y = Q$ になりますよね。

これが答えです。これが納得いかないならば、(1)~(3)の作業をもう一度行ってみてください。

(5)

これはちょっと難しいです。

まず、問題の意味なんですが、

たとえばWとX, YとZを互いに向かい合わせにコンデンサーを作って合成しろ

ということです。

コンデンサーの合成を行うには、とりあえず簡潔な回路にしてしまうのがベストです。

このとき、性質を変えないように変形しないといけません。

だから、「一周した電位＝０」に注目して分けるといいと思います。

ではでは、合成容量を求めましょう。

合成容量はとにかく全体を見て考えてやれということです。

全体で貯まる電気量は

Q_s = Q + Q + \frac{QD}{d} = Q\left(2 + \frac{D}{d} \right)

また、全体の電圧は

V_s = \frac{QD}{\varepsilon_0 S}

ってことで、 $Q = CV$ より

C = \frac{Q_s}{V_s} = \varepsilon_0 S \left(\frac{2}{D} + \frac{1}{d} \right)

これが答えです。

以上で、終わりです。

ちょっと難しかったかもしれませんが、やっていることは単純です。

やっぱり「一周した電位＝０」は重要です！！

くし形コンデンサー

解答

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

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