力学のモーメントの問題。「倒れる」条件を徹底解説！！

2019年3月4日

2019年9月22日

WRITER

あっきー

　

この記事を書いている人 - WRITER -

あっきー

オンライン物理塾長あっきー。高3秋から1か月で40点点上げ、センター試験では満点を取り、その経験を活かし塾講師として活躍。塾・学校・参考書の内容やカリキュラムに違和感を感じ数多くの高校生を救うため、大学2年生で「受験物理Set Up」を開設。多くの高校生が活用するサイトに発展し、現在「合格への道」で勉強法に特化した受験サポートを行う。

モーメントの問題では、よく「（滑らずに）倒れる」という条件を考える問題がよく出てきます。

それを詳しく考えてみましょう。

モーメントの問題で考えるべきことはたったひとつです。それは・・・

つりあい

です。

では、やっていきましょう！！

問題

（１）「静止」＝「つりあい」

剛体のつり合いに関してはこちらをチェック↓

これでOK！モーメントの問題は「つりあい」で攻略

剛体のつり合いを考えるためには以下を考える必要がありましたね。

これを使うことを頭に入れておいてください。

では、まず力探しをしましょう！！

とりあえず、力のつり合いを考えます。

\(W = N\)

\(F = T\)

ですね。

そして、Bまわりのモーメントのつり合いを考えます。

反時計回りを正とするので

\(W\frac{b}{2} – Ta – Nx = 0\)

ここがAIさんの疑問ですね。

「なんで垂直抗力の位置が\(\frac{b}{2}\)の位置じゃないの？？」

さっきの式を少し変形します

\(W\frac{b}{2} = Ta + Nx\)

この中で一定のものを見てみると・・・

こうですね。

特に左辺が一定というのがポイントです。

今回、\(T\)を大きくしていくと、右辺が大きくなっていきますね。

でも、左辺は一定ですから、右辺が大きくなった分はどこかで打ち消さないといけません。

打ち消すには、\(x\)の値を小さくするつまり

垂直抗力の作用点をBに近づける必要がありますね。

ですから、垂直抗力の作用点は\(\frac{b}{2}\)の位置に常にあるわけじゃないんです。

さて、本題に戻りましょう。

もう一度、ここまで導いた式を見直しましょう

• \(F = T\)・・・①
• \(W = N\)・・・②
• \(W\frac{b}{2} – Ta – Nx = 0\)・・・③

②と③を使って\(x\)を求めればいいですね。

\(x = \frac{b}{2} – \frac{T}{W}a\)

（２）「回転し始める」＝「ギリギリつり合い」

どういう意味かというと、

今回は「回転し始める」って書いてありますね。ある\(T\)を境に直方体が

静止→回転

と変わる瞬間ということです。

ということは、その瞬間までは「ギリギリ静止している」と考えていいですよね。

このように

「回転し始める」→「ギリギリ静止している」

と言い換えができるってわけです。

「静止」しているわけですから、（１）がそのまま使えるわけですね。（１）は「静止」の状態を考えていたわけですから。

ギリギリ静止しているとは（１）の式で\(x = 0\)としたときですね。

\(x= 0\)を代入して、\(T\)を求めらば、それが答えです。

\(0 = \frac{b}{2} – \frac{T_1}{W} a\)

よって

\(T_1 = \frac{b}{2a}W\)

（３）回転 or 滑る？

今回、\(T\)が大きくなると回転するんですが、それと同時に静止摩擦力も大きくなっていきます。

ですから、もし回転し始める（\(x = 0\)になる）前に最大摩擦力になってしまったら、回転する前に滑ってしまいます。

ですから、静止摩擦係数の条件を考えるってわけです。

じゃあ、条件を考えるんですが、もう答えは言っていますね。

\(x = 0\)になる前に最大摩擦力\(F = \mu N\)になったら滑っちゃうので

常に\(F \le \mu N\)

となっていればいいんですね。

\(F = T\)

\(W = N\)

なので

\(T \le \mu W\)
です。

これが常に成り立つためには

（２）で求めた\(T\)の最大\(T_1 = \frac{b}{2a}W\)

が\(\mu W\)より小さければいいんですね。

ということで

\(\frac{b}{2a}W < \mu W\)

よって

\(\mu = \frac{b}{2a}\)

これが答えです。

まとめ